Ожидаемая полезность: чему учит ставочников Моргенштерн

Разбираемся, почему бетторы не всегда принимают рациональные решения.

Не так давно рассказывали о теории математического ожидания и её важности в ставках на дистанции. Суть заключалась в необходимости грамотной оценки перспектив выбранного игроком подхода, исходя из коэффициентов событий, вероятности и суммы ставки. Прочитайте тот материал полностью — тогда будет понятнее этот.

Параллельно с теорией математического ожидания в экономике возникла её альтернатива в виде ожидаемой полезности — гипотезы, отражающей рациональность подхода игрока. Сложно? Давайте поподробнее и попроще.  

Людям не свойственны риски

Начнём с совершенно очевидных вещей, проговорить которые в контексте ожидаемой полезности просто необходимо: люди совершенно по-разному относятся к риску. 

В экономической теории, которая очень тесно перекликается с теорией игр, в том числе с математическим ожиданием и ожидаемой полезностью, принято выделять три типа людей:

• любители риска;

• лица, испытывающие антипатию к риску;

• нейтральные к риску. 

Наверняка многие помнят популярные телевизионные шоу а-ля «Поле чудес», «Кто хочет стать миллионером?» и так далее. В конце игры или на определённом этапе ведущий предлагает игроку забрать выигрыш или сыграть ещё раз и преумножить приз.

В подобные моменты кто-то практически без размышлений шёл ва-банк, кто-то брал время на оценку всех за и против, а кто-то решал забрать выигрыш и довольствоваться тем, что уже фактически принадлежит ему.

Чисто математически, решение сыграть ва-банк не несёт для игрока ни профита в перспективе, ни рисков обанкротиться — на дистанции подобный подход вывел бы участника шоу в ноль. 

Однако есть одно большое «но», которые мы все с вами понимаем: в данном конкретном случае нет никакой дистанции — есть одно конкретное событие, которое в равной степени может как преумножить выигрыш участника, так и оставить его ни с чем. 

На этом этапе в дело вступает психология: выигранная сумма уже рассматривается как собственные средства, а не как иллюзорный выигрыш, потому большинство людей в подобной ситуации выберет гарантированный приз — это эффект владения. Та самая синица в руках вместо журавля в небе.

Как люди оценивают полезность события 

В 1947 году американские учёные Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн обратили внимание, что большинство участников лотерей выбирают решение с меньшим значением математического ожидания в пользу сокращения рисков. Это наблюдение и легло в основу теории ожидаемой полезности. 

Её формула выглядит достаточно просто: вероятность исхода умножается на его полезность, а в случае с азартными играми это материальный выигрыш или чистая прибыль. 

Давайте разберёмся на конкретном примере для наглядности. Возьмём уже состоявшийся матч Серии А между «Вероной» и «Дженоа»: букмекерская контора Parimatch давала на победу хозяев коэффициент 1.96 (51% вероятности, учитывая маржу), на ничью — 3.40 (29,4%), а на гостей — 4.46 (22,4%). 

Подставив коэффициенты в формулу, которая выглядит следующим образом: (потенциальный выигрыш – сумма ставки) * процент вероятности, потому как за полезность в ставках мы принимаем чистый профит. Таким образом ожидаемая полезность ставки на «Дженоа» составляет (4460 – 1000) * 22,4% = 739, на ничью — 705,6, а на «Верону» — 489. 

Пари на победу гостей в этом ракурсе выглядит предпочтительнее, да и математическое ожидание подхода положительное. Однако вряд ли кто-то из читателей ставил на «Дженоа». 

А всё потому, что ожидаемая полезность ставки на «Дженоа» была бы предпочтительнее лишь при относительно равной вероятности исходов. В матче с «Вероной» вероятность победы гостей оценивается в 22%, что и отпугивает большинство игроков — уж слишком высоки риски.

И на короткой дистанции это вполне оправдано: дисперсия вкупе с невысокой вероятностью исхода события может привести к тому, что положительное математическое ожидание выльется в профит только спустя 100 ставок и достаточно весомую сумму просадки. А это в свою очередь может привести к тильту, потере банка и прочим не самым приятным последствиям. 

Иррациональные решения не всегда ошибочны

В заключение отметим, что и математическое ожидание, и ожидаемая полезность безусловно играют важную роль в успехе ставочника на дистанции. Обе метрики служат отражением того, насколько выбранный подход жизнеспособен в долгосрочной перспективе, что помогает игроку отказаться от заранее минусовых решений. 

Под рациональным поведением игрока в математике и экономике подразумевают именно действия с оглядкой на математическое ожидание, то есть использование подходов, которые рано или поздно, несмотря на дисперсию и неопределённость результата, должны принести игроку плюс.

Важно понимать, что математические метрики — важная составляющая успеха игрока на дистанции, которая не всегда приносит результат здесь и сейчас, но хорошо работает вдолгую.

Отсюда следует вывод, что если игрок заключает пари вне системного подхода, то подобные метрики могут сыграть против него: в таких ситуациях на первый план должен выходить анализ текущей формы команды и уровень экспертности игрока, а не математика. 

Читайте также: